1. Должность специалиста пишется со строчной буквы. 2. Слово регламент пишется со строчной буквы. 3. В формах множественного числа слова зонты ударение падает на окончание. 4. Слово свёкла нормативно только с ударением на ё.

Такао выражение некорректно, так как содержит ошибку речевой избыточности. Возможно: навыки эффективного телефонного общения.

Если человек одновременно является и главным специалистом, и педиатром в структуре Министерства здравоохранения, то рассматриваемые сочетания образуют двойное название должности, между частями которого ставится тире. См. пункт 1 параграфа 154 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина, где в качестве примера приводится название должности директор — художественный руководитель. 

Увы, предложить какой-либо вариант весьма сложно: пример очень короткий.

Присоединимся к последнему утверждению. Можно дополнить фразу, вводящую список, словами: ...несет ответственность за следующее: <...>.

Верно:Квалификационные требования к главному специалисту.

В данном контексте может идти речь о проведении (реализации) мероприятий, а не о внедрении.

Верно: пропорционально (чему?) установленной нагрузке.

В данном случае лучше: Обязанностями ведущего инженера являются: выполнение работ таких-то...

Кавычки не требуются.