Какой падеж нужен при отрицании?

Существительное, относящееся к глаголу с отрицанием, может иметь форму родительного или винительного падежа, например: не прочитал этой статьи – не прочитал эту статью. Трудность заключается в том, что в одних случаях тот или иной падеж является предпочтительным, а в других существует равная возможность употребления как родительного, так и винительного падежа.

Когда нужен родительный падеж?

При сочетании с глаголом не иметь: не имеет права, значения, смысла, намерения, понятия, влияния; не имеет дома, денег, машины, брата, друга, сведений.
При наличии слов никакой, ничей, ни один: не взял на себя никакой ответственности, не потерял ни одного грамма, не прочитал ни одной статьи.
При глаголах восприятия, мысли: не понял вопроса, не знал урока, не чувствовал боли, не заметил ошибки, не видел дорожного знака.
Если существительное имеет отвлеченное значение: не теряет времени, не испытывает желания, не скрывает радости.
Если в качестве зависимого слова используется местоимение: не допущу этого; не делайте того.
Если перед глаголом или непосредственно перед именем есть усилительные частицы и, даже: Отправлялись за покупками втроем, но Любе и слова сказать не удавалось, старики сами все выбирали (Кетл.); Руки дрожат и не держат даже плошки с лекарством - не удержать им и книги (Сарт.); На тротуарах тесно, но никто вас не толкнет, никто ни с кем не ссорится, не услышишь даже громкого слова (газ.)
При наличии повторяющегося союза ни... ни: не читает ни книг, ни газет.
В некоторых устойчивых сочетаниях: не играет роли, не производит впечатления, не обращает внимания, не уделяет внимания, не приносит ущерба, не придает значения, не вызывает сомнения, не принимает участия и т. д. А также: не говоря (не сказав) худого слова; не сводить глаз с кого-чего-л.; не находить себе места; плетью обуха не перешибешь.

Когда нужен винительный падеж?

Если отрицание не стоит не при глаголе, а при другом слове: не очень люблю стихи, не всегда читает книги, не вполне усвоил предмет (ср.: люблю стихи, но не очень; читает книги, но не всегда; усвоил предмет, но не вполне).
Если при глаголе кроме данного существительного должно быть еще одно зависимое существительное или прилагательное: он не считает книгу интересной; не прочитал статью за вечер; не обеспечили регион электроэнергией; Разве вы не считаете эту практику полезной?
Если существительное относится к инфинитиву, отделенному от глагола с отрицанием другим инфинитивом: он не хочет начинать писать мемуары (ср. он не хочет писать мемуаров и мемуары).
При наличии в предложении местоимений, указывающих на определенность объекта: Эту песню не задушишь, не убьешь; он не решил эту задачу (ср.: он не решал задач); Ростов, не желая навязывать свое знакомство, не пошел в дом (Л. Толст.).
При наличии после существительного придаточного предложения со словом который: Он не прочитал книгу, которую я ему дал.
При одушевленном существительном или при имени собственном: Со времени моего кондукторства я не люблю Лесную улицу (Пауст.); Но Суровцев уже понимал, что уйти, не повидав Веру, не в силах (Чак.).
Если отрицание входит в состав частицы едва не, чуть не, чуть-чуть не: Едва не уронил стакан; Чуть не пропустил трамвай; Чуть было не потерял билет.
В собственно отрицательных предложениях типа Некому показать работу; негде опубликовать статью.
В некоторых устойчивых сочетаниях: Не морочь мне голову; Не скаль зубы.

В остальных случаях существительные в описываемых конструкциях обычно можно использовать в форме и родительного падежа, и винительного падежа.

Какой падеж в этих конструкциях использовался раньше – родительный или винительный?

Прежде при глаголах с отрицанием почти всегда употреблялся родительный падеж. «Русская грамматика» пишет: «Единая старая норма обязательного родительного падежа при глаголах с отрицанием в современном языке под влиянием разговорной речи не выдерживается: во многих случаях употребление винительного падежа не только предпочитается, но и является единственно правильным».

Строгая обязательность родительного падежа при глаголе с отрицанием подвергалась сомнениям уже в XIX веке. Возражая критику, А. С. Пушкин писал: «Стих "Два века ссорить не хочу" критику показался неправильным. Что гласит грамматика? Что действительный глагол, управляемый отрицательною частицею, требует уже не винительного, а родительного падежа. Например: я не пишу стихов. Но в моем стихе глагол ссорить управляем не частицею не, а глаголом хочу. Ergo правило сюда нейдет. Возьмем, например, следующее предложение: Я не могу вам позволить начать писать... стихи, а уж конечно не стихов. Неужто электрическая сила отрицательной частицы должна пройти сквозь всю эту цепь глаголов и отозваться в существительном? Не думаю» (из статьи «Опровержение на критики», 1830).