Правильно писать и «Елочка», и «Ёлочка». Употребление буквы Ё регулируется правилами русского правописания. В соответствии с ними буква Ё пишется в трех случаях: 1) когда необходимо предупредить неверное чтение и понимание слова, например: узнаём в отличие от узнаем; всё в отличие от все; совершённый (причастие) в отличие от совершенный (прилагательное), сюда же относится Ё в именах, отчествах, фамилиях людей: Чернышёв – Чернышев; 2) когда надо указать произношение малоизвестного слова, например: река Олёкма; 3) в cпециальных текстах: букварях, школьных учебниках русского языкa, учебниках орфоэпии и т. п., а также в словарях для указания места ударения и правильного произношения. В остальных случаях написание Ё факультативно (необязательно).

В словах ёлочка и ошибочка по два суффикса -оч- и -к-. Оба слова образуются от слов, в которых уже есть суффикс -оч-, имеющий форму -(о)к-: ёлка (нет ёлок) > ёлочка, ошибка (нет ошибок) > ошибочка. В первом суффиксе о — беглая гласная и к чередуется с ч, поэтому он имеет три варианта: -к-, -ок-, -оч-.

Оба варианта возможны, хотя предпочтителен здесь винительный падеж (не поменяла свои зеленые иголки), т. к. есть местоимение свои, указывающее на определенность объекта. Подробнее см. в «Письмовнике».