Словари
янва́рь ме́сяц, января́ ме́сяца, предл. в январе́ ме́сяце
Ответы справочной службы
Предпочтителен первый вариант.
Само слово месяц здесь лишнее; написания типа январь месяц, март месяц считаются одной из примет канцелярско-бюрократического языка.
Для канцелярской речи такое выражение вполне приемлемо.
Такие сочетания употребительны в канцелярской речи.
В данном контексте слово месяц избыточно.
Эти сочетания корректны, но писать следует без дефиса, в два слова: январь месяц, май месяц.
Справочники
§ 119. Следующие разряды существительных пишутся слитно. Существительные, слитное написание которых определяется общими правилами: слова с приставками и начальными частями типа лже-, полу-, само- (см. § 117, п. 1), сложные слова с первой частью, совпадающей с формой числительного (см. § 117, п. 2), сложные слова с начальными частями типа авто-, авиа- (см. § 117, п. 3), сложные слова с первой частью, оканчивающейся на -я (см. § 117, п. 4), напр.
...Сочетания типа январь месяц, в марте месяце....
