Основное лексическое значение слова пригоршня ― ‘ладони или одна ладонь, сложенные горстью (горстями)’. Семантическая связь с производящим словом горсть очевидна: горсть → пригоршня. Процесс словообразования сопровождается чередованием ст // ш. Способ словообразования префиксально-суффиксальный, приставка при- и суффикс -н- вносят значение ‘пространство, соприкасающееся с тем, что названо производящим словом’. Других слов, образованных по этой модели, в современном русском языке нет.

Как ни парадоксально, правильны оба варианта. Дело в том, что правила правописания и орфографические словари не регламентируют написание большинства собственных наименований (точнее, регламентируется часто только использование кавычек, прописной буквы и - в ряде случаев - слитное, раздельное или дефисное написание).

Однако нужно отметить, что написание с буквой Ж поддерживается такими словами, как сладкоежка, малоежка и сыроежка. Между тем как написание с Ш не имеет опоры на орфографические аналоги (кроме достаточно сомнительной опоры на глагольную форму ешь-ка).