симфони́ческий
СИМФОНИ́ЧЕСКИЙ \\ в формах с сочетанием с[к’]: симфони́ческий, симфони́ческим... – симфони́че[с]кий; в форме симфони́ческий – симфони́чес[к’и]й и допуст. устарелое симфони́чес[кə]й.
Ответы справочной службы
В словаре В. В. Лопатина, И. В. Нечаевой, Л. К. Чельцовой «Прописная или строчная?» (М., 2011) дается: Нью-Йоркский симфонический оркестр. По аналогии: Лос-Анджелесский филармонический оркестр.
В приведенном примере правильно со строчной. С прописной корректно как первое слово в официальных названиях: Государственный исторический музей, Государственный реестр РФ. В остальных случаях, как правило, написание со строчной.
Справочники
(Выдержки из ГОСТ Р 7.0.12-2011 СИБИД. Библиографическая запись. Сокращение слов и словосочетаний. Общие требования и правила)
...если не является его первым словом симфонический...