С точки зрения системы современного русского языка будет ошибкой выделять суффикс -ц- в солнце и даже в полотенце, несмотря на ощущаемую связь с полотном. Полотенце не является маленьким полотном, в отличие от оконце —  маленькое окно, рыльце — маленькое рыло и т. п. Даже этимологически уменьшительность суффикса вызывает сомнения. Есть точка зрения, что полотенце — часть полотна. В любом случае в современном языке -ц- в полотенце не обозначает ничего уменьшенного, у суффикса вообще нет никакого значения, поэтому он стал частью корня (опрощенье). Ср.: яйцо — общеславянское суффиксальное производное от *jaje (суффикс -ц- здесь есть, но он явно не имеет уменьшительного значения). 

Оба варианта не содержат ошибки.

В орфографическом словаре зафиксированы два варианта: полотенечеко и полотенчико.

Пунктуация корректна.

При образовании уменьшительных производных в них сохраняется грамматический род базового слова. Поскольку полотенце - среднего рода, то и уменьшительное слово должно быть среднего рода: полотенчико и полотенечко. Но есть исключения, например: тень (ж. р.) - тенёк (м. р.).

Нужные формы слов Вы найдете в электронных словарях на нашем портале.

"Справка" не выполняет домашних и конкурсных заданий.

Если авторские слова, стоящие после прямой речи, представляют собой отдельное предложение, то они начинаются с прописной буквы:

– Вы, конечно, не пешком сюда добрались? – Кинув на гвоздь полотенце, Ирина Петровна задвинула ширму, обернулась и тоже посмотрела на Извекова.

Правильно: одно полотенце, пять полотенец.

Существуют слова полотенечко и полотенчико.