нефтедобыча, -и, тв. -ей
НЕФТЕДОБЫЧА, нефтедобычи, может произноситься с дополнительным ударением: нефтедобыча (! неправ. нефтедобыча…) \\ [н’ие]фтедобыча и [н’е]фтедобыча; не[ф]тедобыча u допуст. устарелое не[ф’]тедобыча.
Ответы справочной службы
Вот как эти варианты описывает справочник "Управление в русском языке" Д. Э. Розенталя:
Специализироваться по чему - приобретать специальные познания, навыки в какой-либо отрасли науки или техники.
Специализироваться в чем и на чем - закрепляться за какой-либо одной специальной областью деятельности или сферой использования.
Таким образом, верно: студент специализируется по физиотерапии; компания специализируется в нефтедобыче (на нефтедобыче).