не́т-не́т да и...
Ответы справочной службы
Знаки препинания расставлены правильно. Верно: непрошеным.
Никакие знаки препинания до, внутри и после оборота нет-нет да и не ставятся: Сквозь мрак нет-нет да и проглянет лучик.
В цельном по смыслу выражении нет-нет да и запятая не ставится. Остальное правильно.
Справочники
§ 79. Уточняющие члены предложения выделяются запятыми. Относясь к тому или иному слову в предложении, они сужают обозначаемое ими понятие или в каком-либо отношении ограничивают его. Чаще всего значение уточнения приобретают обстоятельства места, времени, образа действия, степени, меры: Там, в горах, повалил снег (Т. Толст.); Внизу, в зале, стали тушить огни (Ч.); Предвоенную зиму Вихров прожил в Петербурге, у себя в Лесном, на природе (Леон.); Восьмого июля, в пятницу, Елизаров, по ...
...вернулся; Думал, думал да и надумал; б) в выражении нет-нет...
...да и при указании на нерегулярность действия: Нет-нет...
...да и послышится голос кукушки; в) если включается...
Учебник
Присоединительные конструкции не всегда легко отличить от однородных членов предложения, да и неудивительно. Но разобраться всё-таки можно, особенно если внимательно прочитать правило.
...Присоединительные конструкции не всегда легко отличить...
...Присоединительные конструкции...
...Сочетание да и входит в выражение нет-нет да и (при...
...этом есть указание на регулярность действия): Внук нет-нет...
...да и заворчит: «Бабушка, не было в сказке никаких...
