Во-первых, много — не наречие, а неопределенно-количественное слово.

Во-вторых, это неполное предложение. В полном виде оно должно выглядеть примерно так:
У меня в этом учреждении много знакомых.

Понятно, что вместо у меня может быть у моей подруги, у него и т. д. Но указание на субъекта, о знакомых которого идет речь, обязательно: ведь ничьих знакомых не бывает. Вместо в этом учреждении может быть среди альпинистов, на телевидении, в сфере компьютерных технологий и т. п., хотя этот распространитель обязательным не является.

Далее, если мы заменим много на количественное числительное, то получим:
У меня в этом учреждении пять знакомых (допустим, врачей).
Обратите внимание на то, что числительное — в И. п.

А если мы оставим только одного знакомого, то «всплывет» опущенный бытийный глагол:
У меня в этом учреждении есть (имеется, нашелся) знакомый (врач).

Вот этот глагол и есть опущенное сказуемое. Бытийный глагол — сказуемое регулярно опускается (превращается в ноль), если объект обладания (в данном случае это знакомые) квантифицируется, то есть сопровождается количественной характеристикой.

Подлежащим же является существительное знакомый (если же имеется и слово врач, то, конечно, подлежащим является оно, а знакомый станет определением), а в случае квантификации объекта обладания — количественно-именное словосочетание пять знакомых, много знакомых.

В неполном предложении Знакомых много стандартный порядок компонентов изменен, потому что существительное знакомых говорящий, исходя из своего коммуникативного намерения, превратил в тему (исходный пункт) высказывания, а много — в рему (ядро) высказывания. Именно поэтому возникает впечатление, будто много становится сказуемым. Но это впечатление ошибочно. Следуя этой логике, нужно было бы объявить знакомых подлежащим, что, с точки зрения хоть сколько-нибудь традиционной грамматики, неприемлемо: подлежащих в родительном падеже не бывает.

Нужно уяснить, что грамматическое членение предложения и его коммуникативная организация (выделение темы и ремы) мало зависят друг от друга. Часто они согласуются друг с другом, но разобранный пример показывает, что они могут вступать и в конфликтные отношения. Однако изменить грамматическую структуру предложения его коммуникативная организация не может.

В официально-деловом и научном стилях речи имена существительные мужского рода, обозначающие лицо по профессии, занимаемой должности, выполняемой работе, занятию, ученому или почетному званию и т. д., сохраняют свою форму и в тех случаях, когда относятся к лицам женского пола. При этом 

— необособленное определение ставится в форме мужского рода (даже при наличии в предложении собственного имени): В журнале «Знамя» появился новый автор Н. Петрова. Уже известный читателям автор Н. Петрова предложила новую статью;

— обособленное определение ставится в форме женского рода, если оно стоит после собственного имени: Автор Н. Петрова, уже известная читателям, предложила новую статью;

— определение-причастие ставится в форме женского рода независимо от порядка слов: Предложившая новую статью автор Н. Петрова уже известна читателям. Автор Н. Петрова, предложившая новую статью, уже известна читателям; 

— сказуемое в книжно-письменных стилях (особенно в строгой официально-деловой речи) ставится в форме мужского рода: 1) при отсутствии собственного имени; 2) если сказуемое предшествует сочетанию «рассматриваемое слово + собственное имя»: Диссертант изложил интересные наблюдения. Уже известный читателям автор предложил новую статью. Увлекательные заметки предложил редакции известный автор Н. Петрова;

— сказуемое ставится в форме женского рода, если оно стоит после собственного имени: Автор Н. Петрова предложила редакции увлекательные заметки. Диссертант Иванова изложила интересные наблюдения;

— сказуемое может быть поставлено в женском роде, если его форма является единственным показателем того, что речь идет о женщине, а пишущему важно это подчеркнуть: Автор – штурман авиационного женского полка ночных бомбардировщиков – посвятила свою повесть памяти боевых подруг.

Постановка определения или сказуемого в форме женского рода в условиях, не отвечающих перечисленным выше, свойственна разговорному стилю.

Слитное написание корректно.

Написание зависит от контекста. Если контекст подразумевает противопоставление, следует писать раздельно, если противопоставления нет — слитно.

Такая "этикетная формула" будет содержать в себе мощный инвективный (обличительный) стилистический импульс. Конечно, в строгой деловой речи это неприемлемо.

Слова "с уважением" пришли в наш речевой обиход как канцелярский штамп из англоязычной деловой речи.