НАУТЮЖИТЬ, наутюжу, наутюжит \\ н[əy]тюжить и допуст. н[уy]тюжить; в форме наутюжат – наутюж[ə]т и допуст. старш. наутюж[y]т; в формах с сочетанием нн: наутюженный... – наутюже[н]ый.
ЗАУТЮЖИТЬ, заутюжу, заутюжит \\ з[əу]тюжить и з[уу]тюжить; в форме заутюжат – заутюж[ə]т и допуст. старш. заутюж[у]т; в формах с сочетанием нн: заутюженный... – заутюже[н]ый.
Ответы справочной службы
Это синонимы. Корректны оба варианта.