вперемежку (перемежаясь)
вперемешку (перемешиваясь)
Ответы справочной службы
Написание зависит от значения. Вперемежку означает 'перемежаясь, чередуясь в определенном порядке', вперемешку – 'беспорядочно перемешиваясь'.
У этих слов разное значение. Вперемежку = поочередно, чередуя. Вперемешку = беспорядочно, смешиваясь. В приведенном Вами примера можно использовать оба слова, но с разным значением.
Справочники
§ 79. Общее правило Парные глухие согласные звуки п, ф, т, с (и соответствующие мягкие), к, ш на конце слова и перед глухими согласными могут передаваться соответственно буквами п или б, ф или в, т или д, с или з, к или г, ш или ж. Теми же буквами могут передаваться парные звонкие согласные звуки б, в, д, з (и соответствующие мягкие), г, ж перед парными же звонкими согласными (кроме в). Чтобы правильно написать в этих случаях согласную букву, нужно подобрать другую форму того же слова ...
...Глухие и звонкие согласные...
...купец), овца (овец), ловкий (ловок), рукавчик (рукава), шкафчик (шкафы), низкий (низок), миска (мисок), Васька (Вася), Кузька (Кузя, Кузьма), кадка (кадок), меткий (меток), когти (коготь), локти (локоть), бегство (бегу, беглый), ложка (ложек, ложечка), комнатушка (комнатушек), крылышко (крылышек); ср. вперемежку...
§ 83. Пишутся слитно: 1. Наречия, образованные соединением предлогов с наречиями, например: доныне, извне, навсегда, напротив, насквозь, позавчера, послезавтра, донельзя, навряд ли, задаром. От таких наречий следует отличать пишущиеся раздельно сочетания предлогов с неизменяемыми словами, употребляемыми в этих случаях в значении существительных, например: до завтра, на авось, на нет (свести на нет), на ура. 2. Наречия, образованные соединением предлогов
...V. Наречия...
...составе такие существительные или такие именные формы, которые в современном литературном языке не употребляются: вблизи, вдоволь, вдогонку, вдребезги, взаймы, взамен, взаперти, взапуски, взасос, взашей, вкось, вкривь, внаймы, внутри, внутрь, воочию, восвояси, вперевалку, вперегонки, впереди, вперемежку...
Журнал
Представление о том, что такое хорошая речь, исторически изменчиво. В XX веке не может быть признана хорошей та речь, которая была образцовой не только для XVIII, но и для первой половины XIX века. Даже если мы читаем тексты «создателя современного русского языка», каковым по праву считается А. С. Пушкин.
...Представление о том, что такое хорошая речь, исторически...
...Основные критерии хорошей речи...
...Значительно сложнее обстоит дело с речью конца XIX...