Делать хорошую мину при плохой игре – стараться под внешним спокойствием скрыть свои неудачи, неприятности. Выражение – калька с французского faire bonne mine à mauvais jeu, восходит к речи картежников, которые, получив плохие карты, стараются казаться веселыми. Мина – 'лицо', игра здесь – 'расклад карт'.

...Делать хорошую мину при плохой игре...

...Делать хорошую мину при плохой игре – стараться...

§ 6. Буква э пишется в начале корня для передачи гласного э (без предшествующего [j]): В начале следующих исконно русских местоименных слов и междометий: этот (эта, это, эти), этакий, эдакий, экий, этак, эдак; эва, эвон, эге, эгеге, эй, эк, эх, эхма, эхехе. В начале слов иноязычного происхождения (в том числе собственных имен), напр.: эврика, экспорт, экстренный, эллин, эпос, эра, этика, эхо, Этна, Эрик (с буквой э, передающей ударный гласный);

...Буквы э — е...

...§ 6. Буква э пишется в начале корня для передачи...