Под мухой (быть) - в состоянии небольшого опьянения. Первоначально оборот имел форму с мухой. Выражение возникло из речи игроков в карточную игру муху и значило «с выигрышем, с удачей, с овладением мухой». Выигрыш, вероятно, сопровождался выпивкой. 

...возникло из речи игроков в карточную игру муху и значило...

По первое число всыпать (прописать) - сильно наказать кого-нибудь. Выражение восходит к старинной практике пороть ученика. Каждую неделю пороли ученика, вне зависимости от того, виноват он или нет. Если пороли сильно, то порки хватало на последующие недели вплоть до первого числа следующего месяца.

...Выражение восходит к старинной практике пороть ученика...

Последнее китайское предупреждение (шутл.) - предупреждение, являющееся последним только на словах. Возникновение оборота связано с конфликтом между СССР и Китаем в 1969 г. (о. Даманский). Правительство Китая прислало в связи с этим конфликтом несколько «последних» предупреждений в МИД СССР. Встречаются различные варианты, например: первое, сто первое последнее китайское предупреждение, тридцатое последнее китайское предупреждение и т. п.  Дополнение от ...

...Поэтому все эти предупреждения зачитывались по радио...

Прийтись не ко двору – не подойти, не соответствовать чьим-либо требованиям, вкусам, интересам; прийтись некстати. Первоначально – о том  «движимом имуществе» (особенно домашних животных), приобретение которого окончилось неудачей: посуда разбилась, лошадь пала. Выражение связано с верой в домовых: не ко двору значило первоначально 'не понравилось домовому'. По суеверным представлениям, домовые могли наслать хворь на не понравившуюся им ...

...связано с верой в домовых: не ко двору значило...

...понравившуюся им скотину, от каприза домового зависело...

По когтям узнают льва – по части можно судить о целом, об уровне мастерства; выдающегося автора легко узнать даже по незначительной детали его творения. Это перевод латинского выражения ex ungue leonem, восходящего, в свою очередь, к греческому источнику. Существуют разные предположения о его авторстве. Выражение приписывается Алкею, Плутарху, Фидию, Лукиану и другим.

...Это перевод латинского выражения ex ungue leonem...

Покрывало Изиды (книжн.) - о сокровенной тайне, скрытой истине. Изида - древнеегипетская богиня производительных сил природы, обладающая глубокой мудростью и знанием сокровенных тайн. В саисском храме стояла статуя богини, закрытая плотной тканью. Никто не смел прикоснуться к покрывалу, пока богиня сама не снимет его.

...В саисском храме стояла статуя богини, закрытая плотной...

Философский камень (книжн.) - 1) мифический камень (у алхимиков), способный превращать неблагородные металлы в золото, исцелять болезни и омолаживать стариков; 2) начало всех начал, основа всего сущего. Оборот - калька с латинского lapis philosophorum.

....) - 1) мифический камень (у алхимиков), способный...

...металлы в золото, исцелять болезни и омолаживать стариков...

...Оборот - калька с латинского lapis philosophorum...

Хером перечеркнуть (прост.) - положить конец чему-либо, совершенно покончить с чем-либо. В основе образа - внешнее сходство буквы Х ( «херъ») с крестом, двумя перекрещивающимися линиями, которыми перечёркивают написанное за ненадобностью (ср. крест поставить, похерить  «ликвидировать, уничтожить»).

...перекрещивающимися линиями, которыми перечёркивают написанное...

Чувство локтя - о товариществе, взаимной поддержке. Выражение связано с умением поддерживать связь с соседом в строевом марше.

...Чувство локтя - о товариществе, взаимной поддержке...

Щи да каша - старинные названия русских горячих блюд, издавна распространённых в народе и ставших своеобразным символом русской кухни. Щи - горячее первое блюдо. Кашей называли не только народное кушанье, но и пир. В одной из русских летописей об Александре Невском написано:  «Оженися князь Олександр, венчася в Торопци: ту кашу чини» (т.е. здесь и свадебный пир устроил). Артель на Дону тоже называли кашей. Даль приводит пример:  «Мы с ...

...одной из русских летописей об Александре Невском написано...