Ставить (класть, положить) что-либо во главу угла - признавать главным, особо важным. Это выражение происходит из евангельской притчи о строительстве здания. Один камень при постройке казался зодчим никуда не годным. А при возведении угла, что давалось всегда особенно трудно, именно он подошел и  «сделался главою угла».

...Ставить (класть, положить) что-либо во главу угла ...

Потемкинские деревни - показное, мнимое благополоучие, очковтирательство. Выражение связано с именем князя Г. А. Потемкина, государственного деятеля времен Екатерины II. После присоединения Крыма к России императрица совершила поездку по Новороссии. По рассказам, Потемкин, чтобы показать процветание вверенного ему края, приказал построить на пути ее следования бутафорские селения с расписными избами.

...Потемкинские деревни - показное, мнимое благополоучие...

Вавилонское столпотворение (шутл.) – беспорядочная толпа людей, суматоха, неразбериха. Выражение возникло из библейского сюжета о попытке построить в Вавилоне башню, которая должна была достигнуть неба. Когда строители начали свою работу, разгневанный Бог «смешал язык их», они перестали понимать друг друга и не могли продолжить постройку. Церковнославянское слово столпотворение означает «строение столпа, башни».

...Вавилонское столпотворение (шутл.) &ndash...

Пробный шар (устар.) - о каком-либо поступке, приеме, являющемся попыткой выяснить что-либо. Существуют две версии этимологии: 1) оборот взят из лексикона бильярдистов. Хорошие игроки дают иногда партнеру пробный шар, т. е. подставляют шар так, что его сравнительно легко положить в лузу; 2) выражение является калькой с фр. ballon d'essai и восходит к  практике запуска пробных возушных шаров перед запуском шаров с людьми.

...Пробный шар (устар.) - о каком-либо поступке,...

ПРИ НЕОБХОДИМОСТИ, наречие Не требует постановки знаков препинания. ...Он великодушно предложил одновременно с выяснением собственных дел ежедневно наводить справки и о продвижении моих. И при необходимости дать мне в Ленинград телеграмму. Е. Гинзбург, Крутой маршрут. Я подумал, что даже смогу при необходимости вспомнить их имена... С. Лукьяненко, Ночной дозор.

...ПРИ НЕОБХОДИМОСТИ, наречие Не требует постановки знаков...

Вопрос С удивлением для себя обнаружил в словаре, что слова проектировать и проецировать считаются синонимами. Всегда считал, что проецировать это именно строить проекцию (с пространства с большей размерностью на пространство меньшей размерности). Действительно ли эти слова до сих пор полные синонимы, не наблюдается ли тенденции к разделению из значений? Как я понял, употребление одного и того же слова (проектировать, к примеру) в различных смыслах ошибкой не считается.

...Вопрос С удивлением для себя обнаружил в словаре,...

Персты в язвы вложить (устар. книжн.) - убедиться в чем-либо при помощи фактов. Выражение из Евангелия: апостол Фома не хотел верить в то, что Христос воскрес, пока не вложил свои пальцы (персты) в нанесенные Господу раны от гвоздей (язвы гвоздиные).

...Персты в язвы вложить (устар. книжн.) - убедиться...

Без дураков (прост.) – со всей серьезностью, без шуток. Иногда выражение относят к «бильярдному» языку. В некоторых разновидностях игры в бильярд требовалось положить в лузы определенное количество шаров. Случайно вкатившиеся в лузу шары шутливо называли «дураками». Некоторые игроки предпочитали такие шары не засчитывать, играли «без дураков». Однако оборот древнее: он родился во времена русского средневековья и связан с обычаями ...

...Без дураков (прост.) – со всей серьезностью...

До положения риз (шутл.) – до крайней степени опьянения, до невменяемости (напиться, напоить). Ризы –слово старославянского языка, означавшее 'одежда'. Существует несколько версий происхождения  фразеологизма. По наиболее распространенной, оборот восходит к библейскому рассказу о Ное, который, опьянев, обнажился (снял и положил свои ризы). Таким образом, буквальное значение оборота – «напиться до того, что снять свои одежды».

...До положения риз (шутл.) – до крайней степени...

НЕ МУДРСТВУЯ ЛУКАВО, в роли обстоятельственного оборота Обстоятельственный (деепричастный) оборот «не мудрствуя лукаво» обычно обособляется. Не мудрствуя лукаво, он следит за движениями указующего перста, совершенно равнодушный к тому, что таится в той дали, куда этот перст направлен. М. Салтыков-Щедрин, Мелочи жизни. Надо самому вжиться в эту жизнь, не мудрствуя лукаво, без всяких задних писательских мыслей. А. Куприн, Яма. Здесь надо лишь, не мудрствуя лукаво и не насилуя ни ...

...НЕ МУДРСТВУЯ ЛУКАВО, в роли обстоятельственного оборота...