Ехать зайцем – ехать в общественном транспорте без билета. Выражение, по одной из версий, – калька с французского aller (voyager) en lapin, где lapin 'кролик'. Смысл оборота в том, что безбилетный пассажир боится быть пойманным и оштрафованным (дрожит, как заяц): заяц традиционно является олицетворением трусости. По другой версии, выражение появилось в русском языке самостоятельно, в его основе лежит извечное свойство зайца –

...самостоятельно, в его основе лежит извечное свойство зайца...

...связано с исходным образом проворного, прошмыгивающего зайца...

Задавать перцу кому-либо – сильно ругать, наказывать кого-либо. В основе этого выражения лежит метафора: боль от порки, наказания приравнивается к горечи перца. Но вполне возможно, что перец здесь употребляется не в переносном, а в прямом значении, а выражение восходит к жестоким наказаниям в Древней Руси, когда в раны провинившихся сыпали соль и перец.

...боль от порки, наказания приравнивается к горечи перца...

Водить за нос – обманывать, вводить в заблуждение. Согласно наиболее распространенной версии, оборот связан со способом управлять животными (быками, лошадьми и др.), которых водят при помощи кольца, продетого в ноздри. Выражение могло возникнуть и от сравнения с медведями, которых цыгане также водили напоказ за кольцо, продетое в нос.

...быками, лошадьми и др.), которых водят при помощи кольца...

Гамбургский счет – об оценке чего-либо без скидок и уступок, с предельной требовательностью. Из сборника критических статей В. Шкловского под названием «Гамбургский счет» (1928). В предисловии Шкловский писал, что выражение по гамбургскому счету услышано им от бывшего борца. Борцы будто бы съезжались в Гамбург и  проводили закрытый турнир для выяснения истинной силы каждого. Но, по-видимому, гамбургский счет – собственное выражение ...

...по гамбургскому счету услышано им от бывшего борца...

Дамоклов меч – о постояннно грозящей кому-либо опасности. Выражение – калька с греческого; из предания о сиракузском тиране Дионисии Старшем (ок. 432–367 гг. до н. э.), рассказанного Цицероном в сочинении «Тускуланские беседы». Желая проучить льстеца Дамокла, называвшего его счастливейшим из людей, Дионисий приказал во время пира посадить его на свое место, предварительно прикрепив к потолку над этим местом острый меч, висевший на конском волосе. Этот ...

... Желая проучить льстеца Дамокла, называвшего его...

Двуликий Янус (книжн.) – неискренний, двуличный человек. В римской мифологии Янус – бог времени, а также всякого начала и конца, входов и выходов. Изображался с двумя лицами, обращенными в противоположные стороны: молодым – вперед, в будущее, старым – назад, в прошлое.

...ndash; бог времени, а также всякого начала и конца...

Дело в шляпе (прост., часто шутл.) – кончено, решено, улажено, всё в порядке, всё удачно закончилось. Есть несколько версий происхождения оборота. По одной из них, выражение восходит к старинному обычаю решать всякие спорные дела жеребьёвкой: в шляпу бросали монеты, кусочки свинца или другие мелкие предметы, из которых один был с меткой. Каждый из участников жеребьевки брал по одному предмету из шляпы, надеясь на то, что дело будет решено в его пользу. 

...дела жеребьёвкой: в шляпу бросали монеты, кусочки свинца...

Голубая мечта – идиллическая, часто недостижимая мечта. По одной версии, выражение появилось под влиянием популярной пьесы-сказки М. Метерлинка «Синяя птица». По другой версии, оборот – неточная калька с немецкого die blauе Blume «голубой цветок», восходит к роману немецкого писателя Новалиса «Генрих фон Офтердинген» (1802). Голубой цветок – символ высокой и несбыточной мечты, приснившийся юноше-поэту.

...Метерлинка «Синяя птица»....

До греческих календ – об откладывании чего-либо на неопределенный, длительный срок. Календы – название первого дня месяца у древних римлян. У греков календ не было. Отсюда и шутливый, каламбурный образ, породивший значение «никогда».

... Календы – название первого дня месяца...

На всю (полную) катушку делать что-либо (прост.) – до конца, предельно, полностью, вовсю делать что-либо. Есть несколько версий происхождения этого оборота. По одной из них, выражение вошло в современную речь из языка связистов во время Великой Отечественной войны. По другой версии, источник оборота – речь рыболовов (имеется в виду, что леска разматывается с катушки). Третья версия связывает это выражение с процессом регулирования громкости звучания ...

...– до конца, предельно, полностью, вовсю делать...