Верно: Юлии, Марии, Анастасии. О склонении существительных на -ия см. в пособии Е. И. Литневской.
Правильно: Юлии Андреевне.
Правильно: Юлии.
См. здесь.
Правильно: Марии, Юлии. Слова женского рода на -ия (в том числе имена собственные) имеют в дательном и предложном падеже ед. числа, в отступление от общего правила, окончание И, а не Е: армии, линии, станции, России, Марии. Окончание Е пишется только тогда, когда окончание ударное, например: Зульфия – Зульфие.
Если это официальное название салона, то правильно: в Салоне красоты Юлии Вороновой.