Верно: Северная и Южная Америка.
Таким образом, образное название Кореи - Страна утренней свежести - возникло задолго до разделения страны на Северную и Южную Корею, поэтому сейчас на это название претендуют оба государства.
Правильно: Северная и Южная Америка.
Прилагательное: южноосетинский.
Озеро Онтарио - среднего рода. О части провинции лучше написать: юг Онтарио, южная часть Онтарио.
Насколько нам известно, общепринятых сокращений нет. Но их можно образовать и использовать в специализированной литературе, если в этом есть необходимость.
Правильно: юна.
Правильно: Республика Корея.
Корректно написание со строчной буквы: южная столица Кузбасса. Это описательный оборот, он пока не воспринимается как образное название.
Да, эти сочетания пишутся с прописной буквы.