Формулировка неудачна, лучше так: Щербинский лифтостроительный завод стал единственным в стране поставщиком...
Вы правы, здесь нет оснований писать пекинский с большой буквы.
Слова вроде фарш употребляются во множественном числе нечасто, в основном в профессиональной речи. В обычных текстах для широкой аудитории рекомендуется использовать форму единственного числа: ...в фарше «Говяжий» (Самара) и «Свиной».