В качестве устойчивого выражения используется второй вариант.

Устойчивое сочетание: мозговой штурм.

Оба варианта возможны.

Предлагаем Вам воспользоваться нашими интерактивными диктантами.

Верное управление: дан старт чему. Однако со словом университет сочетание неудачно.

Это так называемое эллиптическое предложение (самостоятельно употребляемое предложение с отсутствующим сказуемым). В таких предложениях при наличии паузы ставится тире, при отсутствии паузы знак не нужен. 

Обычно используют выражения дать старт (чему-либо), но положить начало (чему-либо).

Правильно: стартап. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.

Вопрос "Как правильно?" применим только к словам и выражениям литературного языка. Поэтому, к сожалению, на ваш вопрос корректного ответа нет.