Правильно: памятная медаль «160 лет обороны города...», памятная медаль к 160-летию обороны города...
К сожалению, это вопрос не русского языка, а географии.
Да, запятую после слова мир надо поставить.
Верно: в районном центре (в городе) Богучаре.
"Читать мораль" в значении "поучать, наставлять" - корректное сочетание. В словарях оно отмечается как разговорное.
Правильно: получила медаль конкурса упаковки (конкурса на лучшую упаковку).
Запятая нужна, она закрывает придаточное предложение.