Верно: оружием мериться мы не будем.

Возможна постановка двоеточия.

Неологизм мотовездеход в одном из лексикологических описаний толкуется как транспортное средство, представляющее собой гибрид автомобиля, мотоцикла и трактора, в другом — приравнивается к квадроциклу. Вне всякого сомнения, более детальную информацию о транспортном средстве, именуемом мотовездеходом, следует искать в специализированной литературе.

Ошибки в «Большом толковом словаре» под ред. С. А. Кузнецова (версия 2014 года), размещенном на портале, нет. Различие в словарях, которое Вы обнаружили, свидетельствует об эволюции грамматической нормы. Еще в 1976 году в словаре «Грамматическая правильность русской речи» Л. К. Граудиной, В. А. Ицковича, Л. П. Катлинской была отмечена тенденция к вытеснению родительного падежа со значением части винительным падежом: «При глаголах с общим значением «брать», «давать» (брать, взять, выпить, дать, купить, привезти, принести, съесть и под.) выбор падежной формы, в соответствии со старой нормой, определяется значением этой формы: винительный падеж обозначал полный охват объекта действием, определенное количество, родительный – распространение действия на часть объекта, неопределенное количество, например: Налей себе молока из кувшина (т. е. некоторую часть) – Выпей молоко, которое тебе оставлено. Такое разграничение конструкций существует еще и в настоящее время. Однако наряду с этим… различие между родительным и винительным падежом в описываемых конструкциях нейтрализуется, причем в современном употреблении родительный падеж в количественно-выделительном значении вытесняется винительным. Особенно активно этот процесс происходит в разговорной речи, в которой зафиксировано равное количество употреблений родительного и винительного падежа. Ср.: взять продуктов выпей воды, принеси молока, купить конопляного семени, принести хлеба, грибочков купить надо – брать укроп, дать сдачу, купить цветы, привезти сухари».

Кавычки нужны по следующему правилу. Если прямая речь непосредственно включается в авторское предложение в качестве его члена, то она заключается в кавычки, знаки же препинания ставятся по условиям авторского предложения.

Рекомендуем свериться с романом "Война и мир".

Запятые не требуются. Обратите внимание: возможно, слово проходимость здесь неуместно, рекомендуем свериться с толковым словарем.

Ударение на дверИ корректно. Ударение в локативах действительно падает на последний слог, но в некоторых случаях формы местного падежа не соответствуют современной литературной норме (считаются просторечными), например: в дубу, в дому. Поэтому, если возникают сомнения, в каждом конкретном случае лучше свериться со словарем.

"Справочное бюро" не придумывает ответы на вопросы. Мы можем лишь помочь Вам свериться с существующими справочными изданиями.

Слово кенаса / кенасса не зафиксировано в нормативных словарях русского языка. При написании следует ориентироваться на наиболее частотный (авторитетный) вариант. Мы обязательно передадим Ваш вопрос составителям "Русского орфографического словаря", чтобы слово было включено в последующие издания словаря.

Запятая не ставится, если части сложносочиненного предложения объединены вопросительной интонацией. Верно: помериться, мериться.