Лучше сказать: быть попечителем школы.
Правильно: оканчивая школу.
Название в кавычках при родовом слове не склоняется: ученица школы «Интеграция».
Лучше: ученицы 2 класса.
Здесь верно: Награждается ученица 3 класса МОУ "Школа № 29".
Грамматически правилен первый вариант. Но мы полагаем, что на тетради достаточно написать: ученика школы № 878.
Название без родового слова следует склонять: учитель «Ивановской основной школы» — филиала МБОУ «Петровская средняя школа».
В правилах орфографии прямых указаний нет. Однако в словаре В. В. Лопатина, И. В. Нечаевой, Л. К. Чельцовой «Прописная или строчная?» зафиксированы названия некоторых художественных и научных школ со строчной буквы (барбизонская школа живописи, венецианская школа живописи, владимиро-суздальская школа (зодчества и иконописи) и др.). На эти написания можно опираться как на прецедентные.
У глагола окончить сформировалось значение 'пройти какой-либо курс обучения, завершить обучение где-либо', так что сочетания окончить школу/институт/колледж и под. правильны.