Морфемный статус показателя инфинитива -ти или -ть определяется в русистике по-разному. Широко распространена трактовка этой части слова как формообразующего суффикса. В то же время и в школьной, и в научной литературе нередки случаи определения -ти (-ть) как окончания. В пользу первой точки зрения говорит то, что окончание в русской грамматической системе является словоизменительной морфемой, а инфинитив традиционно считается неизменяемой глагольной формой.

Написание этих слов кодифцировано: чат-бот, нейросеть. Это нарицательные существительные, они пишутся со строчной буквы, но в начале предложения — с прописной. При склонении слова чат-бот изменяется вторая часть: чат-бота, чат-боту и т. д. Слово нейросеть широко используется в формах единственного числа: создано нейросетью, нейросеть выдала текст, разработана нейросеть и т. п.

Известный способ терминологического разведения наименований (если по какой-либо причине, не вполне для нас ясной, появилась в этом необходимость) — добавить еще одно слово к имеющимся; ср.: латиноамериканский тройственный союз / альянс.

Грамматические основы выделены верно.

Это широко распространенная диалектная форма дательного падежа существительных 1-го склонения, которая проникает и в городское просторечие (ср. также диалектную форму родительного падежа у сестре, где окончание совпадает с окончанием дательного падежа в литературном языке). Возникновение таких форм исторически объясняется взаимодействием твердого и мягкого типов склонения, которое в литературном языке и в диалектах осуществлялось по-разному.

О словах есть и кушать см. в «Словаре трудностей».

В литературном языке слово мышь является словом женского рода — эта мышь. Как слово мужского рода слово мыш широко распространено в диалектах — этот мыш, этого мыша́. Оно же может использоваться в речи носителей литературного языка как элемент языковой игры или в художественных текстах как стилистическое средство. В этом случае оно пишется без мягкого знака.

В § 125 п. 2 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина отмечается: пишутся слитно названия с первыми частями Старо-, Верхне-, Нижне-, Средне-, Ближне-, Дальне-, а также Бело-, Красно-, Черно- и т. п., напр.: Старобельск, Верхнетуринск, Нижнеангарск, Дальнереченск, Белоостров (поселок), Красноуральск, Черноисточинск.

Конечно, может быть традиция, связанная с конкретными названиями, но «при выявлении несоответствия написания конкретного объекта общему правилу в целях сохранения системности нашего письма, единства норм для всех областей русскоязычного мира следует приводить это написание в соответствие с правилами. И только написания названий общезначимых, широко известных объектов, входящих в общий русскоязычный культурный фонд (например, Чёрная речка в Санкт-Петербурге), следует сохранять в их исторически устоявшемся виде».

Вы правы, верно слитное написание.

Такое употребление является грубой ошибкой, не стилистической, а скорее лексической, связанной с неправильным выбором предлога.