Нет, у этих слов разное происхождение. Хиреть восходит к той же основе, что и хворый, хворать.
Определяем тип спряжения по ударным личным окончаниям: висишь, висит, висят; сидишь, сидит, сидят. Это окончания II спряжения. Если личные окончания ударные, мы при определении типа спряжения не обращаем внимания на неопределенную форму глагола.
Это сочетание пишется без кавычек (написание без кавычек зафиксировано словарями русского языка).
Корректно сочетание плацкартный билет. Также: билет с плацкартой (т. е. с правом на нумерованное место в вагоне в поездах дальнего следования), билет в плацкартный вагон.
Тире не нужно: Получили один билет для Вити, два билета для Саши, четыре билета для Нади.
Предпочтительно: не видеть разницы.