Правильно: Остров свободы.
Географические названия: остров Путятина, остров Аскольд.
Правильно: остров Татышев.
Правильно: остров Татышев (от имени Татыш).
Да оба слова пишутся с большой буквы: Лосиный Остров.
Правильно: остров Татышев.
Нейтрально (не в энциклопедии): Крысий остров.