Нет, формулировка некорректна.
Можно выполнить задание или заполнить карточку.
Нет, такая формулировка неверна. Правильно: Напишу вам о новостях.
Это корректная формулировка.
Эта формулировка верна, так как возможны и другие сочетания: его земляк, земляк дяди Вани и т. д.
Формулировка возможна. А что имеется в виду?
Такая формулировка корректна.
Такая формулировка в заявлении уместна.
Такая формулировка возможна. Может быть, есть трудности в связи с более обширным контекстом.
Непринужденный - лишенный всякой натянутости; вполне естественный.