Официальное название: Паралимпийские игры.
Между этими конструкциями есть разница в значении. Предлог для вносит в сочетание целевой оттенок; условия для содержания подразумевают требования, которые должны быть выполнены, чтобы обеспечить содержание чего-либо или кого-либо. Условия содержания — это обстоятельства, в которых происходит, осуществляется содержание чего-либо или кого-либо.
Правильно: Параолимпийские игры.
Правильно: согласно условиям договора.
Обособление конструкции с сочетанием при условии (обстоятельства, а не придаточного) факультативно.
Правильно: адаптирована к условиям. Употребление предлога под в этой конструкции – ошибка. См.: Лазуткина Е. М. Словарь грамматической сочетаемости слов русского языка. М., 2012.
Кавычки не нужны.