Название в кавычках при родовом слове не склоняется: ученица школы «Интеграция».
Запятая не нужна: в школе так в школе.
Верно: работает в ГБОУ Школа.
У глагола окончить сформировалось значение 'пройти какой-либо курс обучения, завершить обучение где-либо', так что сочетания окончить школу/институт/колледж и под. правильны.
Названия учреждений следует писать с маленькой буквы во всех перечисленных случаях. Варианты во второй школе, в тридцатой поликлинике встречаются в разговорной речи.
Корректно: в языковую школу.
Оба выражения верны. Сочетания преподаватель школы, преподаватель лицея часто используются как официальные наименования лиц по профессии, а сочетания преподаватель в школе / в лицее — варианты, отмечающие место работы человека.
Лучше сказать: быть попечителем школы.
Поскольку «Адаптер» — название клуба, а не школы, то верно: школа (чья?) «Адаптера».
