Правильно: в грибе.

См. здесь.

Название гриба вешенка является общепринятым, поэтому кавычками не выделяется. Слово вешенка должно согласовываться с определяемым словом гриб: грибом вешенкой, о грибе вешенке. Ср. дерево береза, на дереве березе. 

Правильно: проживать на такой-то улице, идти по улице.

Ударение переходит на окончание. Правильно: гриба, под грибом.

Грибок и гриб – это два разных слова, которые, безусловно, являются родственными(однокоренными). Слово грибок образовано от слова гриб с помощью уменьшительно-ласкательного суффикса -ок. А вот гриб и грибы нельзя назвать ни родственными словами, ни однокоренными словами, потому что их нельзя назвать словАМИ.  Это одно слово (представленное в приведенном Вами тексте словоформой единственного числа именительного падежа гриб и словоформой множественного числа именительного падежа грибы).

Корректно: дома на Советской улице.

Что именно ПО или НА улице Бабушкина? Идти - по улице, жить - на улице.

Правильно: на Арбате, на улице Арбат.