Тысяча первый – составное порядковое числительное. В таких числительных склоняется только последнее слово. Правильно: в тысяча первый раз.
Оба варианта верны.
Оба варианта возможны.
В составных порядковых числительных изменяется по падежам только последнее слово. Правильно: две тысячи сто первый год, две тысячи сто первого года, в две тысячи сто первом году.
Все приведенные Вами слова пишутся раздельно.
Правила таковы:
Пишутся слитно порядковые числительные со второй частью -дцатый, -надцатый, -десятый, -сотый, -тысячный, -миллионный и т. д., напр.: тридцатый, двенадцатый, шестидесятый, четырёхсотый, пятнадцатитысячный, шестисотмиллионный.
Пишутся раздельно составные порядковые обозначения, в которые могут входить, кроме количественных числительных, существительные тысяча, миллион и т. д., а последней частью в них является порядковое числительное, напр.: двадцать пятый, триста пятьдесят восьмой, тысяча девятьсот девяносто четвёртый, две тысячи первый, миллион двести тысяч сто пятый и т. д.
