Да, эту фамилию, принадлежащую мужчине, нужно склонять.
Мужская фамилия Тукан склоняется, женская – нет.
Мужская фамилия Булай склоняется, правильно в дательном падеже: Булаю.
Верно: предоставить отпуск Будаю.
Оба ударения нормативны. Однако см.
Большой толковый словарь русского языка
ДА́ВЯЩИЙ; ДАВЯ́ЩИЙ, -ая, -ее. 1. только давя́щий. Тугой, сильно сдавливающий. Д-ая повязка. 2. Тупой, ноющий, щемящий (о боли). 3. Тягостный, гнетущий. Д-ая тоска. Д-ее впечатление.
Токай - это название сорта винограда и вина.