1. Возможно: пользуЕтся. Но лучше перестроить фразу.
2. Верно: намечено на.
Корректно: хозяйственная и инвестиционная деятельность развиваются...
В этом случае лучше использовать форму единственного числа: единовременно на смене находится более 1000 медицинских бригад.
А какие трудности с СЯ? Вас интересует написание мягкого знака? Он пишется в начальной форме (что делать?) и не пишется в личных формах (что делает?).
Если определение (обычно обособленное) стоит после счетного оборота, то чаще оно ставится в форме именительного падежа множественного числа. Таким образом, во всех приведенных случаях лучше выбрать форму способствующие.
Мягкий знак пишется перед -ся в неопределенной форме глагола (что делать? купаться) и не пишется в форме 3-го лица единственного и множественного числа (что делает? купается, что делают? купаются).
Здесь возможно и единственное, и множественное число сказуемого.
Правильно: остУдятся.
Следует использовать формы единственного числа: В стране функционирует более 26 000 объектов спортивного назначения, развивается 132 вида спорта.
Нет, начальная форма – отдаться. Правильно: она не отдастся; вам кому бы только не отдаться.