Нормативно: на тросе.
Верно: Кот просил мяса.
Им. п. мн. ч. - трОсы.
Корректно: просит слово.
Кавычки уместны (например, написание в кавычках в этом значении – «тройка» – предложено в справочнике Д. Э. Розенталя «Прописная или строчная?»). Но окончательное решение – за автором текста.