Если наречие наконец (а здесь это слово — наречие со значением «в конечном итоге, после всего, напоследок, под конец, в результате всего») относится к вздохнув, то оно начинает деепричастный оборот и запятая перед ним нужна: И, наконец чуть слышно вздохнув, засыпает день. Если это наречие относится к засыпает, то деепричастный оборот начинается после него: И наконец, чуть слышно вздохнув, засыпает день.

Такое написание действительно ошибочно, поскольку Невский — это не фамилия. Имена и прозвища исторических персонажей следует писать целиком.

«Большой орфоэпический словарь русского языка» фиксирует форму краткого прилагательного в среднем роде с ударением на первом слоге как предпочтительную (си́льно), а вариант с ударением на окончании — как допустимый (сильно́).

Если фраза включена в перечисление, то лучше заключить дополнительную информацию в скобки: 1)...; 2) рассеянность (даже без отвлекающих факторов); 3)...
В другом контексте фраза может быть оформлена как присоединительная конструкция: Рассеянность, даже без отвлекающих факторов, наблюдается и тогда, когда...

В Православной энциклопедии (Православная энциклопедия. Том 26 — М.: Церковно-научный центр «Православная энциклопедия», 2011. С. 124) дается ударение Иосѝя. То же и в церковнославянской Библии, где текст акцентуирован (4 Царств 22.1).

Общий второстепенный член — такой, который относится ко всем (в данном случае обеим) частям предложения. На столе — обстоятельство места, которое относится только ко второй части, то есть это не общий второстепенный член. Пахло (где?) у бабушки и стоял самовар (где?) у бабушки. У бабушки — общий второстепенный член, поэтому запятая между частями предложения не ставится: У бабушки пахло свежими яблоками и на столе всегда стоял самовар.

Во второй части этого предложения опущен глагол, к которому должна относиться вторая часть союза чем... тем... (чем глубже погружаешься, тем больше узнаёшь). Такую ошибку можно счесть как лексической (неполнота высказывания), так и грамматической.

Вероятно, Вам следует обратиться к психологу.

Мы не выполняем домашние задания.

Здесь мы наблюдаем случай так называемой вторичной союзной связи (термин А. Ф. Прияткиной). Действительно, при помощи этой связи вводится присоединительный член — приложение, распространенное двумя однородными определениями. Можно трактовать несколько иначе: присоединительный член — как раз эти определения, плюс вся эта конструкция осложнена повтором подлежащего. Нам кажется более адекватной вторая трактовка, но в школе, насколько нам известно, понятие повтора члена предложения не рассматривается (хотя такое явление существует); поэтому, если разбор нужен для школы, придется выбрать первый вариант.