Существуют оба слова:

татарстанский (от Татарстан)
татарский (к татары и Татария)

Можно возражать против чего-л. и на что-л.

Двоеточие стоит верно. Не хватает пробела, и первую точку нужно заменить на запятую и пробел.

Термин международного права: преступление против человечности (англ. humanity). Но в словарях и энциклопедиях также отмечается перевод преступление против человечества.

Оба варианта считаются допустимыми: проли́та и пролитá.

Оба варианта верны.

В этом значении употребляется слово трезвенник.

У названия этого государства два варианта произношения: Катар (официальный) и Катар (общепринятый). Соответственно возможны варианты (и они фиксируются словарями) катарский и катарский. Словарная статья в «Проверке слова» исправлена в соответствии с данными 4-го издания «Русского орфографического словаря» РАН под ред. В. В. Лопатина и О. Е. Ивановой (М., 2012).