Правильно: тай-бо. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.
Кавычки не требуются: борьба самбо, борьба дзюдо.
Лучше всего: Я проживаю в Тамбове.
Правильно: «Наш город Тамбов». Написание слова город с большой буквы противоречит орфографической норме.
Слово самбо употребляется в современном русском языке как существительное среднего рода.
Правильно: Съемка зала самбо в ГБОУ «Лицей "Международная космическая школа им. В. Н. Челомея"».
Верно: прошли чемпионат и первенство.
Пожалуйста, воспользуйтесь "Искать на Грамоте" на сайте.
Обратите внимание: в этом значении слово самбо дается с пометами нескл. (то есть несклоняемое), м. (мужской) и ж. (женский). Пометы, указывающей на средний род, нет.
Оливковая роща - верное название.