Поймать кураж – разговорное выражение. Его употребление в тексте газетной статьи зависит от общей стилистики текста: если статья содержит какую-либо сухую, официальную информацию, такое выражение вряд ли может быть в ней уместно. Но если статья не претендует на строгость и сухость, если она ориентирована на своеобразный диалог с читателем, сочетание поймать кураж в ней вполне допустимо.

Допустимы все три варианта. Они отражают разную интонацию при произнесении. 

Верно с дефисом.

В интересующих Вас случаях корректно написание с прописной, по аналогии с написанием имен персонажей: Страж, Искоренитель Ереси, Ангел Смерти, Крестоносец Мщения. 

Женская фамилия Сурай не склоняется, склонение мужской фамилии Сурай обязательно.

Кавычки в этом случае не требуются.

Мужская фамилия склоняется (Мурача, Мурачу и т. д.), женская – нет.

Корректно: В столице Орды Сарай аль-Джедиде.