Правильно.
Вариант названия клуба без предлога "для" выглядит предпочтительным.
Поскольку «Адаптер» — название клуба, а не школы, то верно: школа (чья?) «Адаптера».
1. Лучше использовать сочетание атлетический зал.
2. Корректно слитное написание по аналогии со словом конноспортивный: коннотуристический.