Вариант стихотворение нейтральный, стихотворенье – разговорный и поэтический.
Оба варианта возможны, но устойчивое сочетание: читать стихотворение.
В данном случае правильным будет вариант «выбранное стихотворение».
Нет, точка не нужна.
Корректно слитное написание.
Деепричастий иская и ловля не существует, правильно: ища, ловя. Но, насколько нам известно, в этом детском стихотворении употребляются глаголы (Я поохотился за лето: грибы искал, мышей ловил), иначе не будет рифмы (Устал я, выбился из сил). Возможно, кто-то что-то неправильно услышал или записал?
Да, цитату нужно заключить в кавычки.
Оба варианта возможны.
Правильно: «Бойцу Южного фронта».
Поскольку при причастии есть зависимое слово, верно раздельное написание не: Стихи, не отправленные в письме.