См. в разделе Речь. Текст в учебнике Е. И. Литневской.
Корректно со строчной: стиль прованс.
Это неудачная калька с английского. Правильно: здоровый образ жизни.
Учебник Вам расскажет больше, чем "Справочное бюро".
Правильно без кавычек: стиль кантри.
Орфографический словарь
Англ. casual буквально означает "обиходный, повседневный стиль".