Правильно: стиль барокко, стиль модерн. Без родового названия модерн склоняется: архитектура модерна.
Стиль милитари по аналогии можно писать без кавычек.
Корректно со строчной: стиль прованс.
Правильно без кавычек: стиль кантри.
Англ. casual буквально означает "обиходный, повседневный стиль".
См. в учебнике Е. И. Литневской.
Это неудачная калька с английского. Правильно: здоровый образ жизни.