Корректно: Об использовании субсидии, предоставленной ООО «Ромашка» в 2022 году, на те же цели в 2026 году.

Субсидии (какой?), предоставленной ООО «Ромашка» в 2022 году. Запятыми выделяется определительный оборот, стоящий после определяемого слова. Об использовании (на что?) на те же цели — дополнение на цели нельзя оторвать от управляющего им существительного использование.

Вы правильно оформили предложение с прямой речью внутри авторских слов.

Верно: [свайу́].

Случай не спорный. В безударной позиции объективно происходит редукция звуков.

Запятая нужна. Д. Э. Розенталь пишет: «Не является объединяющим элементом противительный союз, после которого или перед которым находятся два соединенных союзом и простых предложения, поэтому запятая перед и ставится: Ибрагим был бы очень рад избавиться, но ассамблея была дело должностное, и государь строго требовал присутствия своих приближенных...»

Поскольку корней слов, которые относятся к обсценным (матерным), весьма мало, то нет и нужды в специальных этимологических словарях такого рода лексики. Некоторые из корней описаны в «Этимологическом словаре славянских языков» под редакцией О. Н. Трубачева. Вполне достоверные с научной точки зрения сведения о происхождении русского мата можно почерпнуть из краткой лекции «Откуда взялся мат?» на ресурсе Arzamas.

Во втором ряду слово отыграться образовано суффиксальным (постфиксальным) способом от отыграть. Слово современный содержит приставку со-, оно образовано приставочно-суффиксальным способом. Сложности возникают со словом бессмыслица. Автор тестового задания трактует это слово как образованное приставочно-суффиксальным способом по образцу слов бескормица (от корм), беспутица (от путь). Такое решение вполне обоснованно. В «Словообразовательном словаре русского языка» А. Н. Тихонова это слово действительно определяется как образованное суффиксальным способом от бессмысленный. Это решение, на наш взгляд, не имеет преимуществ перед вышеупомянутым. Но следует согласиться с тем, что авторам тестовых заданий следует использовать только те слова, которые не допускают различных интерпретаций при анализе.

Верный вариант расстановки знаков препинания: Наша забота привела к тому, что дом построили вовремя и, что очень важно, он обошёлся недорого. Вводное предложение что очень важно (употребляется для подчеркивания значимости какого-либо факта) выделяется с двух сторон запятыми; перед союзом и не ставится запятая, поскольку он соединяет две однородные придаточные части, зависящие от слова тому (союз что перед второй из них не повторяется).

Поскольку мы не видим текста целиком, то можем сказать только следующее. В предложении У самой вершины старой ели, в густых ветвях, свили гнездо тетеревятники-ястребы говорится о птицах (они названы здесь словами тетеревятники-ястребы). В предложении Много лесных тайн, сказочных чудес видят они с высокой тёмной высоты также говорится о птицах: местоимение они служит средством связи между этим предложением и предыдущим и заменяет собою наименование тетеревятники-ястребы.  

На Ваш первый вопрос о «полумягких» согласных был дан, как нам представляется, исчерпывающий ответ. В частности, в нашем ответе было сказано, что твердые согласные в современном русском произношении реализуются как «полумягкие» (или, если использовать фонетическую терминологию, невеляризованные) звуки в позициях перед мягкими согласными. Другими словами, твердые согласные, которые перед гласными являются веляризованными (см. наш предыдущий ответ), теряют свою веляризацию перед мягкими согласными и на слух воспринимаются как несколько менее твердые, или «полумягкие».

В том же ответе нами были приведены примеры транскрипции слов дверь, твёрдый в фонематической и фонетической транскрипции /дв’ер’/ = [д·в’ер’], /тв’ордыj/ = [т·в’ордыj], где «полумягкость» обозначена точкой вверху после согласного. Ср. двор, твой /двор/ = [двор], /твоj/ = [твоj], где первые согласные произносятся как полноценно твердые, т. е. веляризованные.

В русской фонетической транскрипции веляризованность твердых согласных традиционно не обозначается, так как она в сущности не ощущается неискушенными носителями языка. Но она может быть и обозначена. Так, в Международном фонетическом алфавите (МФА) для это цели имеется специальный символ ˠ (ср. двор [дˠвˠорˠ], твой [тˠвˠоj]), но его не принято использовать, потому что он лишь загромождает транскрипцию и практически ничего не дает. Носители русского языка не ощущают веляризованности, как, впрочем, и ее отсутствия, т. е. «полумягкости».

Другое дело твердость и мягкость согласных. Приведенные нами слова дверь и твёрдый с «полумягкими» согласными в старомосковском произношении произносились с полноценно мягкими согласными (а не «полумягкими»!): /д’в’ер’/ = [д’в’ер’], /т’в’ордыj/ = [т’в’ордыj]. Сейчас такое произношение встречается редко и рассматривается как особенность старшей нормы литературного произношения. И носители языка при некоторой тренировке легко могут научиться слышать разницу в старшей и младшей норме произношения первых согласных слов дверь и твёрдый, потому что «полумягкие» – это реализация твердых согласных, а «полноценно мягкие» – мягких: ср. /д’в’ер’/ = [д’в’ер’], /т’в’ордыj/ = [т’в’ордыj] (старшая норма) и /дв’ер’/ = [д·в’ер’], /тв’ордыj/ = [т·в’ордыj] (младшая норма).