Правильно: Как месяц ни свети, а всё не солнышко.
Правильно: Бюджетное учреждение «Центр социального сопровождения "Солнышко"», расположенное...
В таком случае предпочтительно использовать кавычки разного рисунка: ООО «Косметическая фирма "Солнышко"». Если по каким-то причинам это невозможно, допустимо писать: ООО "Косметическая фирма "Солнышко". Кавычки одного рисунка рядом не повторяются.
Корректно: косметическая фирма "Солнышко". Вторая пара кавычек не нужна.
Запятая не ставится: сравнение является сказуемым.