Во множественном числе верно: соусы. Вариант соуса допустим в разговорной речи.
Верно: инжирное варенье. Верны оба варианта: соусы и соуса, некоторые словари фиксируют только вариант соусы.
Корректно: соус песто.
Словари фиксируют прилагательное йогуртовый. Лучше: йогуртовый соус.
О том, чем отличаются слова русский и российский, читайте в «Словаре трудностей».
Корректно: соус барбекю.
Правильно: рис «Жасмин», соус «Нью-Йорк», картофель «Айдахо». Однако для последнего наименования очевидна тенденция к переходу имени собственного в нарицательное (по аналогии с картофель фри), поэтому вариант картофель айдахо нельзя считать неверным.
Если курицу тушили в соевом соусе, правильно: кимбал с курицей, ту́шенной в соевом соусе.