Собственно языковых запретов на этот счет нет.

Такова традиция, собственно языковых причин нет (весть существуют, например, варианты двумерный и двухмерный).

Правильно: языковой (см. значение слов языковой и языковый в Проверке слова).

Хотя слово демократия и означает в буквальном переводе с греческого «власть народа», сочетание народная демократия стало устойчивым, закрепилось в языке советской эпохи для обозначения политической организации общества в государствах Центральной и Восточной Европы во второй половине XX века (страны народной демократии). Сочетание это корректно, оно не нарушает нормы языка.

Корректно раздельное написание.

Cобственные наименования — неоднословные названия индивидуализированных объектов («Вечерняя Москва»). В состав собственных наименований не обязательно входит собственное имя (Московский государственный университет).

Корректно: в языковую школу.