Нормативно и стилистически нейтрально: буду стирать. В непринужденной речи допустимо: буду стираться (в знач. 'устрою стирку').
При глаголе смириться требуется дополнение с предлогом с, например: Я не могу ничего изменить, только смириться с неизбежным.
Употребительная передача фамилии футболиста: Бекхэм.
Если ошибкой считать отступление от современной орфографической нормы, то слитное написание слова естественно-научный сегодня - ошибка.
Да, это ошибка.
Верно: навстречу успеху.