Запятая нужна. Однако возможно и тире.
Постановка запятой факультативна.
Правильно: механосборочный.
Да, если в каком-либо произведении действует такой персонаж и автор относит его к именам собственным, он вправе написать имя персонажа с прописной: птица Феникс.
Судя по информации в открытых источниках, все четыре слова входят в название труппы, поэтому корректно: «Свободный балет Валерия Терёшкина» и «Свободный балет» (как сокращенное название).
Запятая нужна: Мышкин – город, свободный от кризиса.
Возможны разные варианты написания.
Запятую следует поставить.