Корректно: ...назначить ответственным за работу с договорами табельщицу А. И. Иванову.
Правильное написание в орфографии до 1917 года - мебельщикъ.
Вопрос охватывает две проблемы. Первая - это разночтения в словарях. К сожалению, эти разночтения неизбежны, и в таком случае выбор за Вами, рекомендациям какого источника следовать. Оба названных Вами словаря - и "Русское словесное ударение", и "Русский орфографический словарь" - нормативны. Возможно, стоит предпочесть более позднее по времени издание, если у Вас есть выбор.
И вторая проблема. Если в одном из словарей пропуск (лакуна), то следует воспользоваться рекомендацией другого словаря: грАбельщик. Никакого (тем более "известного") правила о "падении ударения на Е" в русском языке нет. Ср.: грАбельки, грАбельный.
Если сочетание «Эсобел с сабельником болотным на шроте корня лопуха» - официальное название препарата, товарный знак, то в кавычки оно заключается целиком.
См. также «Письмовник».
