Женская фамилия Слизень не склоняется.
Предпочтительный вариант: назначили Слизеня.
Возможны разные варианты оформления: "утку" и "селезня" в "Селезне" выбирали "караваем"; играли в колечко, жмурки, "Ходит Бориско", "А мы просо сеяли".
Окончательный выбор – за носителем фамилии, но предпочтительно всегда склонять без выпадения гласного, т. к. фамилии выполняют в т. ч. юридическую функцию: Шелепеня, Шелепеню и т. д.